Նշում. ճիշտ է, որ յուրաքանչյուր սահմանափակ հաջորդականություն պարունակում է կոնվերգենտ ենթահաջորդականություն, և ավելին, յուրաքանչյուր միապաղաղ հաջորդականություն զուգակցվում է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ այն սահմանափակված է: Ավելացված է Տես միապաղաղ կոնվերգենցիայի թեորեմի գրառումը սահմանափակված միատոն հաջորդականությունների երաշխավորված կոնվերգենցիայի մասին լրացուցիչ տեղեկությունների համար:
Արդյո՞ք յուրաքանչյուր սահմանափակ հաջորդականություն համընկնում է R-ում:
Թեորեմն ասում է, որ յուրաքանչյուր սահմանափակ հաջորդականություն R-ում -ն ունի կոնվերգենտ ենթահաջորդականություն: Համարժեք ձևակերպումն այն է, որ R-ի ենթաբազմություն -ը հաջորդաբար կոմպակտ է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե այն փակ է և սահմանափակված: Թեորեմը երբեմն կոչվում է հաջորդական կոմպակտության թեորեմ:
Արդյո՞ք իրական թվերի յուրաքանչյուր սահմանափակ հաջորդականություն կոնվերգենտ է:
Պատասխան և բացատրություն. ա) Արդյո՞ք յուրաքանչյուր սահմանափակ հաջորդականություն զուգակցված է: Ոչ.
Արդյո՞ք յուրաքանչյուր սահմանափակ միապաղաղ հաջորդականություն համընկնում է:
Ոչ բոլոր սահմանափակ հաջորդականությունները, ինչպիսիք են (−1)n, միանում են, բայց եթե իմանայինք, որ սահմանափակված հաջորդականությունը միատոն է, ապա դա կփոխվեր: եթե a ≥ an+1 բոլոր n ∈ N-ի համար: Հաջորդականությունը միատոն է, եթե այն կա՛մ մեծանում է, կա՛մ նվազում: և սահմանափակված, այնուհետև այն միանում է:
Բոլոր սահմանափակ հաջորդականություններն ունե՞ն կոնվերգենտ ենթահաջորդականություն:
Բոլցանո-Վայերշտրասի թեորեմ. Rn-ում յուրաքանչյուր սահմանափակ հաջորդականություն ունի կոնվերգենտ ենթահաջորդականություն: {xmk }-ը իրական թվերի սահմանափակ հաջորդականություն է, հետևաբար այն նույնպես ունի կոնվերգենտ ենթահաջորդականություն,… Ընդհակառակը, յուրաքանչյուր սահմանափակ հաջորդականություն գտնվում էփակ և սահմանափակ բազմություն, ուստի այն ունի կոնվերգենտ ենթահաջորդականություն։
