Թող P-ն լինի G-ի Sylow p-ենթախումբ: Եթե G-ը պարզ է, ապա այն ունի 3-րդ կարգի 10 ենթախումբ և 5-րդ կարգի 6 ենթախումբ: Այնուամենայնիվ, քանի որ այս խմբերը բոլորը ցիկլային են: պարզ կարգի, G-ի ցանկացած ոչ տրիվիալ տարր պարունակվում է այս խմբերից առավելագույնը մեկում:
P խմբերը ցիկլակա՞ն են:
Չնչին խումբը առաջին կարգի միակ խումբն է, իսկ ցիկլային խումբը C p կարգի միակ խումբն է p::
Ենթախմբերը ցիկլակա՞ն են:
Թեորեմ. ցիկլային խմբի բոլոր ենթախմբերը ցիկլային են: Եթե G=⟨a⟩ ցիկլային է, ապա |G|-ի յուրաքանչյուր d բաժանարարի համար կա d կարգի ճիշտ մեկ ենթախումբ, որը կարող է առաջանալ a|G|/d a |-ի կողմից Գ | / դ. Ապացույց՝ Թող |G|=dn | Գ |=d n.
P Sylow ենթախմբերը նորմա՞լ են:
Եթե G-ն ունի ճշգրիտ մեկ Sylow p-ենթախումբ, այն պետք է լինի նորմալ Տրված կարգի Եզակի Ենթախմբից Նորմալ է: Ենթադրենք, որ Sylow p-ենթախումբը P-ն նորմալ է: Այնուհետև այն հավասարվում է իր զուգորդներին: Այսպիսով, Երրորդ Սայլոուի թեորեմով կարող է լինել միայն մեկ այդպիսի Սայլոու p-ենթախումբ:
Sylow P-ի ենթախմբերը Աբելյա՞ն են:
Մենք ապացուցում ենք, որ G վերջավոր խմբի Sylow p-ենթախմբերը աբելյան են, եթե և միայն այն դեպքում, եթե G-ի p-տարրերի դասերի չափերը բոլորը միասին պարզ են p-ին, և, եթե p ∈ { 3, 5 }, ապա G-ի հիմնական p-բլոկի յուրաքանչյուր անկրճատելի նիշի աստիճանը հավասար է p-ին։
