Ի՞նչ է նշանակում ոչ մի տեղ խիտ:

2024 Հեղինակ: Elizabeth Oswald | [email protected]. Վերջին փոփոխված: 2024-01-13 00:08

Մաթեմատիկայում տոպոլոգիական տարածության ենթաբազմությունը ոչ մի տեղ խիտ կամ հազվադեպ է կոչվում, եթե դրա փակումը դատարկ ինտերիեր ունի: Շատ ազատ իմաստով, դա մի շարք է, որի տարրերը ոչ մի տեղ սերտորեն հավաքված չեն: Օրինակ՝ իրականների մեջ ամբողջ թվերը ոչ մի տեղ խիտ չեն, մինչդեռ բաց գնդակը՝ ոչ:

1 N ոչ մի տեղ խիտ չէ?

Կոմպլեկտի օրինակ, որը փակ չէ, բայց դեռ ոչ մի տեղ խիտ չէ, {1n| է

∈N}: Այն ունի մեկ սահմանային կետ, որը սահմանված չէ (այսինքն՝ 0), բայց դրա փակումը դեռ ոչ մի տեղ խիտ չէ, քանի որ բաց միջակայքերը չեն տեղավորվում {1n|n∈N}∪{0}-ի սահմաններում։

Ինչպե՞ս ապացուցել, որ հավաքածուն ոչ մի տեղ խիտ չէ:

A ⊆ X ենթաբազմությունը կոչվում է ոչ մի տեղ խիտ X-ում, եթե A-ի փակման ներսը դատարկ է, այսինքն՝ (A)◦=∅: Հակառակ դեպքում, A-ն ոչ մի տեղ խիտ չէ, եթե այն գտնվում է դատարկ ինտերիերով փակ հավաքածուում: Անցնելով լրացումներին, մենք կարող ենք համարժեքորեն ասել, որ A-ն ոչ մի տեղ խիտ չէ, եթե նրա լրացումը պարունակում է խիտ բաց բազմություն (ինչու՞):

Ի՞նչ է նշանակում ամենուր խիտ:

X տոպոլոգիական տարածության A ենթաբազմությունը խիտ է, որի համար փակումը ամբողջ X տարածությունն է (որոշ հեղինակներ օգտագործում են տերմինաբանությունը ամենուր խիտ): Ընդհանուր այլընտրանքային սահմանումը հետևյալն է. A բազմություն, որը հատում է X-ի յուրաքանչյուր ոչ դատարկ բաց ենթաբազմություն:

Արդյո՞ք ամեն խիտ հավաքածու բաց է:

X տոպոլոգիական տարածությունը գերկապված է, եթե և միայն այն դեպքում, եթե յուրաքանչյուր ոչ դատարկ բաց բազմությունը խիտ է X-ում: Տոպոլոգիական տարածությունը ենթառավելագույն է, եթե և միայն այն դեպքում, եթեյուրաքանչյուր խիտ ենթաբազմություն բաց է։