Բոլոր Համիլտոնյան գրաֆիկները երկկողմանի կապակցված են, բայց երկկողմանի գրաֆիկը պարտադիր չէ, որ լինի Համիլտոնյան (տես, օրինակ, Պետերսենի գրաֆիկը): Էյլերյան գրաֆիկը G (կապակցված գրաֆիկ, որտեղ յուրաքանչյուր գագաթ ունի զույգ աստիճան) անպայմանորեն ունի Էյլերյան շրջագայություն, փակ քայլ, որը անցնում է G-ի յուրաքանչյուր եզրով ուղիղ մեկ անգամ:
Կարո՞ղ է գրաֆիկը լինել համիլտոնյան, բայց ոչ էյլերյան:
Կապակցված G գրաֆիկը Համիլտոնական է, եթե կա ցիկլ, որը ներառում է G-ի բոլոր գագաթները; նման ցիկլը կոչվում է Համիլտոնյան ցիկլ: … Այս գրաֆիկը և՛ Էյլերյան է, և՛ Համիլտոնյան: Այս գրաֆիկը էյլերյան է, բայց ՈՉ Համիլտոնյան: Այս գծապատկերը Համիլիթոնական է, բայց ՈՉ Էյլերյան:
Արդյո՞ք յուրաքանչյուր Համիլտոնյան գրաֆիկ էյլերյան է:
Ոչ. Համիլտոնյան ուղին այցելում է յուրաքանչյուր գագաթ ուղիղ մեկ անգամ, բայց կարող է կրկնել եզրերը: Էյլերյան շղթան հատում է գրաֆիկի յուրաքանչյուր եզրը ճիշտ մեկ անգամ, բայց կարող է կրկնել գագաթները:
Ի՞նչ է Էյլերիանը Համիլտոնյան չէ:
Ամբողջական երկկողմանի K2, 4 գրաֆիկը ունի Էյլերյան շղթա, բայց ոչ Համիլտոնյան է (իրականում այն նույնիսկ Համիլտոնյան ուղի չի պարունակում): Համիլտոնյան ցանկացած ուղի կփոխարինի գույները (և չկա բավարար կապույտ գագաթներ):
Բոլոր գծապատկերները էյլերիա՞ն են:
Գրաֆիկը Էյլերական է, եթե և միայն եթե յուրաքանչյուր գագաթի աստիճանը զույգ է: Հետևաբար, Kn-ը էյլերական է, եթե n-ը կենտ է: (ii) Միակ կիսաէյլերյան ամբողջական գրաֆիկը K2-ն է: … Գրաֆիկը միացված է, և կան ճշգրիտերկու կենտ աստիճանի գագաթներ։