Մաթեմատիկայում աբելյան խումբը, որը նաև կոչվում է փոխադարձ խումբ, խումբ է, որտեղ խմբի գործողության կիրառման արդյունքը խմբի երկու տարրերի վրա կախված չէ հերթականությունից: որոնցում դրանք գրված են։
Ի՞նչ է աբելյան և ոչ աբելյան խումբը:
Սահմանում 0.3. Աբելյան խումբ Եթե խումբն ունի a և b տարրերի յուրաքանչյուր զույգի համար ab=ba հատկությունը, ապա մենք ասում ենք, որ խումբը Աբելյան է: Խումբը ոչ աբելական է, եթե կա a և b տարրերի մի քանի զույգ, որոնց համար ab=ba:
Ինչպե՞ս ճանաչել աբելյան խումբը:
Աբելյան խումբը ցույց տալու եղանակները
- Ցույց տալ փոխարկիչը [x, y]=xyx−1y−1 [x, y]=x y x − 1 y − 1 երկու կամայական տարրերից x, y∈G x, y ∈ G պետք է լինի նույնականությունը։
- Ցույց տալ, որ խումբը իզոմորֆ է երկու աբելյան (ենթա)խմբերի ուղղակի արտադրյալի նկատմամբ:
Ի՞նչ տարբերություն կա խմբի և աբելյան խմբի միջև:
Խումբը կատեգորիա է մեկ օբյեկտով և բոլոր մորֆիզմներով շրջելի; աբելյան խումբը մոնոիդային կատեգորիա է մեկ առարկայով և բոլոր մորֆիզմները շրջելի են։
Ո՞ր խումբն է միշտ աբելյան։
Այո, բոլոր ցիկլային խմբերը աբելյան են: Ահա մի փոքր ավելի մանրամասն, որն օգնում է հասկանալի դարձնել, թե «ինչու» բոլոր ցիկլային խմբերը աբելյան են (այսինքն՝ փոխադարձ): Թող G-ը լինի ցիկլային խումբ, իսկ g-ը՝ G-ի գեներատոր։
